Matrixgleichung

Matrixgleichung bezeichnet eine Gleichung, in der die Unbekannte eine Matrix ist. Typische Formen sind AX = B, XA = B oder AXB = C, wobei A, B und C vorgegebene Matrizen und X die gesuchte Matrix ist. Auch nichtlineare oder gemischte Formen treten auf, etwa die Lyapunov- oder die Sylvester- bzw. Riccati-Gleichung. Solche Gleichungen spielen eine zentrale Rolle in der linearen Algebra, der Kontrolle und der Systemtheorie.

Bei AX = B, mit A und B passenden Größen, hängt die Lösung von der Struktur von A ab: Ist A quadratisch und invertierbar, existiert eindeutig X = A^{-1} B. Ist A singulär, kann es keine Lösung oder unendliche viele Lösungen geben; häufig wird eine kleinste-Quadrate-Lösung gesucht.

Die Sylvester-Gleichung AX + XB = C besitzt unter bestimmten Spektralbedingungen eine eindeutige Lösung. Ein übliches Konstruktionsprinzip transformiert sie in ein lineares Gleichungssystem mittels Vektorisierung (vec) und Kronecker-Produkten. Die Lyapunov-Gleichung A X + X A^T = -Q ist ein zentraler Spezialfall in der Stabilitäts- und Regelungstheorie; sie lässt sich mit ähnlichen numerischen Verfahren lösen.

Riccati und Methoden: Nichtlineare Matrixgleichungen wie die Riccati-Gleichung X B X + X C + D X + E = 0 erfordern iterative oder spezialisierte Algorithmen und weisen oft mehrere Lösungen auf. Allgemein werden für lineare Gleichungen direkte Verfahren (Inversion, Least Squares) oder strukturierte Algorithmen (Bartels–Stewart, Sign-Funktion) eingesetzt.

Anwendungen finden sich in der Kontrolltheorie (Zustandsschätzung, Optimalregelung), System- und Signalverarbeitung, Differentialgleichungssystemen, Computergraphik und Netzwerktheorie.