Matrixformen

Matrixformen bezeichnet in der linearen Algebra standardisierte Darstellungen von Matrizen, die durch Äquivalenztransformationen erreicht werden, um die Struktur einer linearen Abbildung sichtbar zu machen. Ziel ist es, Eigenschaften wie Spektrum, Rang und Ähnlichkeitsstruktur leichter zu prüfen. Wichtige Formen sind Diagonalform, Jordanform, rationaler Normalform und Smith-Form.

Diagonalform: Eine Matrix ist diagonalisierbar über einem Feld F, wenn es eine invertierbare Basis gibt, in der sie diagonal wirkt. Dann gilt P^{-1}AP = diag(λ1,...,λn). Diagonale Matrizen erleichtern Berechnungen von Potenzen und Funktionen von A, sind jedoch nicht immer vorhanden.

Jordanform: Falls A nicht diagonalisierbar ist, existiert über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K eine Äquivalenz P^{-1}AP = J, wobei J aus Jordan-Blöcken besteht. In jedem Block stehen der Eigenwert auf der Diagonalen und Einsen auf der Superdiagonale; die Blockstruktur codiert die Größe der Eigenräume.

Rationaler Normalform: Über jedem Körper F gilt, dass A ähnlich zu einer blockdiagonalen Matrix aus Begleitern der invariant factors von A ist. Diese Form existiert immer und ist eindeutig bis zur Reihenfolge der Blöcke; sie erfasst Struktur auch ohne Diagonal- oder Jordanform.

Smith-Form: Für Matrizen über einem PID, insbesondere ganzzahlige Matrizen, existieren U,V unimodulare Matrizen mit UAV = diag(d1,...,dr,0,...) wobei d1 | d2 | ... | dr. Die Smith-Form klassifiziert Modulstrukturen und liefert invariant factors.

Invarianten und Anwendungen: Wesentliche Invarianten sind Spektrum, Minimalpolynom, Rang und invariant factors. Anwendungen finden sich in der Lösung linearer Gleichungssysteme, Differentialgleichungen, Systemtheorie und der Klassifikation von Modulstrukturen über PIDs.

Beispiel: A = [[2,1],[0,2]] hat den Eigenwert 2, ist nicht diagonalisierbar, Jordanform J = [[2,1],[0,2]].