Massenmatrix

Massenmatrix, kurz M, ist in der Mechanik eine Matrix, die die Trägheit eines Systems gegenüber Beschleunigungen abbildet. In der Gleichung der Bewegung entsteht sie neben der Beschleunigung: M q̈ + C(q, q̇) q̇ + K(q) q = F. Allgemein verknüpft sie die generalisierten Beschleunigungen q̈ mit den generalisierten Kräften des Systems.

In der Kontinuumsmechanik wird M durch Integrationen der Dichte über das Volumen gebildet. Eine häufige Form ist M = ∫V ρ N^T N dV, wobei ρ die Dichte und N die Formfunktionen der Finite-Elemente sind. In der Finite-Elemente-Analyse entsteht daraus die konsistente Massenmatrix. Sie ist symmetrisch und positiv semidefinit; in linearen Systemen oft positiv definit.

Zur Vereinfachung und Beschleunigung der Berechnungen kann eine Lumped Massenmatrix verwendet werden. Dabei werden die Off-Diagonalbeiträge zugunsten einer Diagonalmatrix vernachlässigt oder so gewählt, dass M diagonal ist (M_ii) durch Aufsummieren der entsprechenden M_ij-Werte. Lumped Massenmatrizen sind leichter zu handhaben, können aber zu geringerer Genauigkeit führen, insbesondere bei komplexen Elementformen.

Typen und Konstruktion hängen vom Elementtyp ab: feste Körper, Solid-, Beam- oder Shell-Elemente, plane oder räumliche Modelle. M wird oft zeitunabhängig angenommen, doch in nichtlinearen oder konfigurationsabhängigen Systemen kann M auch von q abhängen, M(q).

Eigenschaften: M ist typischerweise symmetrisch und positiv definit, was stabile Eigenwertprobleme und klare modalanalytische Interpretationen erlaubt. Anwendungen finden sich in Struktur- und Maschinenbau, Vibrations- und Modalanalysen sowie in Mehrkörpersystemen.

Beispiel: ein einzelnes Teil mit Masse m führt zu M = [m].