Formfunktionen

Formfunktionen, auch shape functions genannt, sind mathematische Basisfunktionen, die in der Finiten-Elemente-Methode verwendet werden, um Feldgrößen innerhalb eines Elements aus Werten an dessen Knoten zu interpolieren. Sie ermöglichen die Darstellung eines Feldes als Linearkombination der Formfunktionen: u_h(x) = sum_i N_i(x) u_i.

Zu ihren wesentlichen Eigenschaften gehören die Partition der Eins (sum_i N_i(x) = 1 innerhalb des Elements) und die Kronecker-delta-Eigenschaft bei Standard-Lagrange-Formfunktionen (N_i(x_j) = δ_ij). Zudem verfügen sie über lokale Unterstützung, d.h. N_i(x) ≡ 0 außerhalb des Elements oder seines Nachbarschaftsbereichs. Die Ordnung der Formfunktionen bestimmt den Interpolationsgrad (linear, quadratisch, kubisch).

Die Konstruktion erfolgt meist auf dem Referenzelement und wird über eine isoparametrische Abbildung auf das reale Element übertragen. Typische Typen sind Lagrange-Formfunktionen, Hermite-Formfunktionen (mit Ableitungsinformationen) sowie fortgeschrittene Formen wie Splines oder NURBS in der Isogeometric Analysis.

Anwendungen reichen von mechanischer Strukturmechanik über Wärmeleitung bis zur Elektromagnetik. In jeder Anwendung wird u_h verwendet, um Elementmatrizen zu bilden und Integrale über das Element zu berechnen. Formfunktionen ermöglichen damit die diskrete Approximation von Feldern wie Verschiebung, Temperatur oder Druck.

Beispiel: In einem einfachen 1D-Linear-Element auf dem Referenzelement [0,1] lauten die Funktionen N1(x) = 1 − x, N2(x) = x; das Feld wird durch u_h(x) = N1(x) u1 + N2(x) u2 interpoliert.