LStrukturen

L-Strukturen, oft einfach als L-Modelle bezeichnet, bilden das zentrale Objekt der Modelltheorie. Eine L-Signatur (Sprache) L besteht aus Symbolen für Konstanten, Funktionssymbole jeder Arität und Relationensymbole jeder Arität. Eine L-Struktur A besteht aus einer nichtleeren Menge D, dem Träger von A, sowie einer Interpretation der Symbole in L: für jedes Konstantensymbol c gilt c^A ∈ D; für jedes n-stellige Funktionssymbol f gilt f^A: D^n → D; für jedes r-äre Relationensymbol R gilt R^A ⊆ D^r. A ist somit eine Struktur für L oder ein Modell von L.

Eine Theorie T in L ist eine Menge von L-Sätzen (Sätzen ohne freie Variablen). Eine Struktur A ist Modell von T (A |= T), wenn alle Sätze in T in A wahr sind. Grundlegend ist damit der Zusammenhang zwischen syntaktischer Beschreibung (Theorie) und semantischer Umsetzung (Strukturen).

Beispiele: Die Struktur N = (N, +, ×, 0, 1) in der Sprache der Arithmetik ist ein Modell der Peano-Arithmetik PA. Die Struktur R = (R, <, +, ×, 0, 1) in der Sprache der Ordnung und der Felder erfüllt die Axiome eines geordneten Körpers.

Unterstrukturen: Eine Unterstruktur B von A liegt vor, wenn D_B ⊆ D_A ist und die Interpretationen der Symbole in B eingeschränkt auf D_B dieselben Operationen/Relationen liefern. Isomorphismen erhalten die Struktur eindeutig; Homomorphismen bewahren die Interpretationen grob.

Verwendung: L-Strukturen dienen der formalen Beschreibung von algebraischen Objekten, geometrischen oder rechnerischen Strukturen. In der Modelltheorie untersucht man, welche Sätze in einer Theorie wahr sind, wie Strukturen zueinander stehen (elementare Äquivalenz, elementare Injektionen) und welche Eigenschaften eine Theorie charakterisieren.