Korrelationsfunktionen

Korrelationsfunktionen sind Funktionen, die den Grad der Abhängigkeit oder Ähnlichkeit zwischen Zufallsvariablen oder Messungen an verschiedenen Zeitpunkten oder Orten quantifizieren. In der Statistik spricht man oft von der Autokorrelationsfunktion, wenn es um dieselben Variablen zu unterschiedlichen Zeiten geht, und von der Kreuzkorrelationsfunktion, wenn zwei verschiedene Prozesse verglichen werden.

Für einen stochastischen Prozess X(t) definiert man die Autokorrelationsfunktion R_X(τ) als Erwartungswert der Produktbildung bei Zeitversatz τ, R_X(τ) = E[X(t) X(t+τ)]. Bei diskreter Zeit lautet sie analog R_X(k) = E[X_n X_{n+k}]. Falls der Prozess mittellos ist, entspricht R_X(τ) der Autokovarianz, andernfalls gilt R_X(τ) = γ(τ) + μ^2, wobei μ der Mittelwert ist. Die Funktion R_X kann normalisiert werden zu ρ_X(τ) = R_X(τ) / R_X(0), der sogenannten Autokorrelationsfunktion, die unabhängig von der Varianz die Form der Abhängigkeit bleibt. Kreuzkorrelationsfunktionen zwischen zwei Prozessen X und Y heißen R_{XY}(τ) = E[X(t) Y(t+τ)].

Eine zentrale Eigenschaft vieler Korrelationsfunktionen ist ihre Fourier-Beziehung zur Leistungsdichte: Der Satz von Wiener und Khintchine besagt, dass die Leistungsdichtespektrum S_X(ω) die Fourier-Transformierte von R_X(τ) ist. Umgekehrt ergibt sich R_X(τ) als Fourier-Inverse von S_X(ω). Die Korrelationsfunktion ist damit ein zentrales Werkzeug in Signalverarbeitung, Zeitreihenanalyse, statistischer Physik und in Felder der Quantenfeldtheorie bzw. Kosmologie.

In der Praxis wird oft die empirische Stichprobenkorrelationsfunktion geschätzt, etwa als akustische oder statistische Kennzahl aus Messdaten, wobei Bias und Randbedingungen zu beachten sind.