Kolomruimtes

Kolomruimtes, in de lineaire algebra vaak kolomruimte genoemd, is de verzameling van alle kolommen van een matrix en vormt daarmee een subruimte van de doelruimte. Voor een matrix A van formaat m×n geldt Kolomruimte(A) = Col(A) = { A x | x ∈ R^n }. Het is tegelijk de afbeelding van de lineaire transformatie T: R^n → R^m gedefinieerd door T(x) = A x.

De kolomruimte geeft aan welke outputvectoren mogelijk zijn bij het toepassen van de transformatie. De dimensie van de kolomruimte is de rang van A, oftewel het maximale aantal lineair onafhankelijke kolommen. Een basis voor Col(A) kan worden verkregen uit de gereduceerde row-echelon vorm (RREF) van A: de pivot-kolommen in de RREF leveren een basis voor Col(A). Een alternatieve manier is om een maximale set van lineair onafhankelijke kolommen van A zelf te nemen.

Eigenschappen: Col(A) is een subruimte van R^m. Een vector b in R^m ligt precies in Col(A) als het lineaire systeem A x = b oplosbaar is. De kolomruimte speelt een sleutelrol bij least squares-problemen: de beste benadering van een vector b door elementen van Col(A) is de projectie van b op Col(A).

Verband met andere concepten: Kolomruimte verschilt van de rijruimte (row space); beide hebben dezelfde dimensie (de rang) maar bevinden zich in verschillende vectorruimten (Col(A) in R^m, rijruimte in R^n). De kolomruimte is ook hetzelfde als het beeld van de lineaire transformatie die door A wordt voorgesteld, en staat centraal bij vragen over solvabiliteit van Ax = b en over de structuur van oplossingen.