Klassenlehre

Klassenlehre, auch als Klassentheorie bezeichnet, ist eine Grundlage der mathematischen Logik und Mengenlehre, die das Konzept der Menge erweitert, indem sie auch Klassen zulässt. In einer typisierten Sprache gibt es oft zwei Sorten von Objekten: Mengen und Klassen. Jede Menge ist eine Klasse, aber nicht jede Klasse ist eine Menge. Klassen können Elemente anderer Klassen sein, aber ordnungsgemäß große Klassen (praktisch die „ganzen“ Sammlungen) dürfen nicht als Elemente anderer Klassen auftreten.

Typische Axiomensysteme der Klassenlehre unterscheiden zwischen Extensionalität, Klassenkomprehension und der Unterscheidung von Sets und proper classes. Die Klassenkomprehension besagt, dass zu bestimmten Formeln, die x über Mengen quantifizieren, eine Klasse der genau solchen x existiert. Zwei Hauptvarianten unterscheiden sich im Umfang der Komprehension: prediktive Komprehension (in der Regel in der von Neumann–Bernays–Gödel, NBG, verwendeten Form) erlaubt nur Quantifizierung über Mengen in der Definiens, während impredikative Komprehension auch Klassenquantifikationen zulässt (wie im Morse–Kelley, MK, System).

Beziehungen zu anderen Theorien:

- NBG ist eine schwächere, aber oft als sinnvoll ausreichend betrachtete Klassenlehre; sie ist eine konzeptionelle Erweiterung der Zermelo–Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) und teils konservativ in Bezug auf Aussagen über Mengen.

- MK ist stärker als NBG und erlaubt eine umfassendere Klassenkomprehension.

Beide Systeme lassen sich mit Zusatzannahmen wie globaler Wahl versehen.

Historisch entstand die Klassenlehre aus den Arbeiten zu Cantor und entwickelte sich weiter in den Arbeiten von von Neumann, Bernays und Gödel (NBG) sowie Morse und Kelley (MK) im 20. Jahrhundert. Anwendungen finden sich in der Fundierung von Theorien, die über Mengen hinausgehen, etwa in der formalen Behandlung von Kategorien oder der „Menge der Mengen“.