Klassentheorie

Klassentheorie ist ein formales Fundament der Logik und Mengenlehre, das Klassen als eigenständige Objekte neben den herkömmlichen Mengen behandelt. Eine Klasse ist eine definierbare Sammlung von Objekten; eine Menge ist eine Klasse, die als Element einer anderen Klasse auftreten kann. Der zentrale Unterschied besteht darin, dass manche Klassen nicht Elemente einer größeren Klasse sein dürfen, man spricht von richtigen Klassen. Ziel der Klassentheorie ist es, eine sichere, widerspruchsresistente Sprache zu schaffen, in der auch sehr große Sammlungen sinnvoll beschrieben werden können, ohne die Russellsche Paradoxie.

Zwei verbreitete axiomatische Systeme sind die von Neumann–Bernays–Gödel (NBG) und Morse–Kelley (MK) Klassenlehre. In NBG existiert Klassenkomprehension nur für Formeln, bei denen Quantifikation über Mengen erfolgt; dadurch bleiben viele übliche Sätze über Mengen genauso wie in ZF erhalten, während richtige Klassen zusätzlich als Objekte geführt werden. MK erweitert die Komprehension auf Formeln, die auch Quantifikation über Klassen zulassen, was die Theorie stärker macht und eine höhere Konsistenzstärke besitzt.

In Bezug auf ZF lässt sich ZF innerhalb der Klassentheorie interpretieren. NBG (mit globaler Wahl) wird oft als konsistent mit ZFC angesehen; MK ist stärker und hat tendenziell höhere Konsistenzstärke. Modelle: Aus Modellen von ZF lassen sich NBG-Modelle ableiten, indem man die Klassen aus der Metaebene bestimmt.

Historisch entstand die Klassentheorie in den 1920er–1950er Jahren durch Bernays und Gödel; Morse und Kelley trugen später zur Entwicklung der MK-Lehre bei. Praxis heute wird Klassentheorie in der Grundlagenforschung verwendet, insbesondere in der Kategorie-Theorie, wo man mit großen Strukturen arbeitet, sowie in der formalen Behandlung von Großen Universen.

Klassentheorie bietet ein Umfeld, in dem man formal zwischen Sets und Klassen unterscheiden kann, wodurch Paradoxien vermieden und zugleich mit großen Sammlungen gerechnet werden kann.