KernelDichteschätzung

KernelDichteschätzung, auch als Kernel-Dichteschätzung bezeichnet, ist eine nichtparametrische Methode zur Schätzung der Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen aus einer endlichen Stichprobe. Aus n Beobachtungen X1, X2, ..., Xn wird die Schätzung durch f_hat(x) = (1/(n h)) sum_{i=1}^n K((x - X_i)/h) erzeugt, wobei K die Kernel-Funktion und h die Bandbreite ist. In mehrdimensionalen Fällen lautet die Formel f_hat(x) = (1/(n h^d)) sum_{i=1}^n K(((x - X_i)/h)), wobei d die Dimensionalität ist. K erfüllt üblicherweise die Eigenschaften, dass er nichtnegativ ist, symmetrisch um Null und sich respiration zu 1 integriert.

Häufig verwendete Kernel-Funktionen sind der Gauß-Kernel, der Epanechnikov-Kernel und der Uniform-Kernel. Unter konstanter Bandbreite liefern alle Kernels asymptotisch ähnliche Ergebnisse, jedoch beeinflusst die Wahl des Kernels die praktische Leistungsfähigkeit. Die Bandbreite h kontrolliert die Glättung: Ein größerer Betrag führt zu einer glatteren Schätzung, ein kleinerer zu stärkerer Varianz und gegebenenfalls zu Überanpassung.

Bandbreite h ist der zentrale Parameter. Methoden zu ihrer Bestimmung umfassen Regel-der-Hand (z. B. Silverman) basierend auf der Stichproben-Varianz, Kreuzvalidierung (z. B. Least-Squares oder Likelihood-Cross-Validation) und Plug-in-Verfahren. Für mehrdimensionale Daten können pro Dimensionen unterschiedliche Bandbreiten oder eine Bandbreitenmatrix verwendet werden.

Anwendungen finden sich in Explorationsanalysen, Dichteschätzung, Glättung von Verteilungen und Ereignisüberwachung. Zu den Nachteilen zählen die Empfindlichkeit gegenüber der Bandbreite, Randverzerrungen an Verteilungsgrenzen und der zunehmende Rechenaufwand bei großen oder hochdimensionalen Stichproben.