StichprobenVarianz

Stichprobenvarianz, in der Statistik häufig als s^2 bezeichnet, ist eine Kennzahl zur Dispersion einer Stichprobe und dient als Schätzer der Populationsvarianz. Gegeben eine Stichprobe x_1, x_2, ..., x_n mit Stichprobenmittelwert x̄ wird die Stichprobenvarianz berechnet als s^2 = (1/(n-1)) · ∑_{i=1}^n (x_i − x̄)^2. Der Nenner n−1 sorgt dafür, dass s^2 im Erwartungswert der Populationsvarianz σ^2 entspricht (unbiasedness) bei unabhängigen Stichproben mit endlicher Varianz.

Die Populationsvarianz σ^2 ist E[(X − μ)^2], wobei μ der Populationsmittelwert ist. Im Gegensatz dazu verwendet die Stichprobenvarianz den Faktor n−1 im Nenner, wodurch sie eine unverzerrte Schätzung von σ^2 darstellt. Unter der Annahme einer normalverteilten Grundgesamtheit folgt (n−1)s^2/σ^2 einer Chi-Quadrat-Verteilung mit n−1 Freiheitsgraden; diese Eigenschaft wird in der Inferenz über den Populationsmittelwert genutzt, etwa beim Aufbau von Konfidenzintervallen oder bei t-Tests.

Aus der Stichprobenvarianz ergibt sich die Stichprobenstandardabweichung s = sqrt(s^2) als entsprechend empfindliche Dispersion-Maßeinheit, die oft zusammen mit s^2 berichtet wird. Die Schätzung ist besonders sensibel gegenüber Ausreißern und der Stichprobengröße; bei kleinen Stichproben ist die Varianzschätzung stärker streuend.

In der Praxis wird s^2 in Statistiksoftware typischerweise mit Funktionen berechnet, die die Freiheitsgrade n−1 berücksichtigen (z. B. Var(x, ddof=1) in gängigen Paketen).