Kansdichtheidsfunctie

Kansdichtheidsfunctie, in het Nederlands vaak afgekort als kdf, beschrijft de verdeling van een continue toevalsvariabele X. De kdf, genoteerd als f(x), geeft de relatieve waarschijnlijkheid dat X zich nabij x bevindt. Aangezien X een specifieke waarde precies aannemen meestal kansloos is, wordt P(a ≤ X ≤ b) berekend door ∫_a^b f(x) dx.

Eigenschappen: f(x) is overal niet-negatief en de integraal over het gehele domein is 1, oftewel ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. De kans op een oneindig klein interval rondom x is ongeveer f(x) dx. De kdf bepaalt de kansverdeling, terwijl de cumulatieve verdelingsfunctie F(x) = P(X ≤ x) verkregen wordt via F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt. Omgekeerd is f(x) de afgeleide van F waar deze bestaat: f(x) = F'(x).

Voorbeelden: de normale verdeling met f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)); de uniforme verdeling op [a,b] met f(x) = 1/(b-a) voor x ∈ [a,b] en 0 buiten dat interval; de exponentiële verdeling met f(x) = λ e^{-λ x} voor x ≥ 0.

Toepassingen: kdf’s worden gebruikt bij het modelleren van continue data, parameterinschatting en het berekenen van verwachtingswaarde E[X] = ∫ x f(x) dx en variantie Var(X) = ∫ (x − E[X])^2 f(x) dx. Belangrijke begrippen zijn onder meer normaliteit en de relatie tussen kansdichtheidsfunctie en kansverdeling.