Jacobianmatrixen

Jacobianmatrixen verwijzen naar de Jacobiaanse matrices die bestaan voor een differentieerbare kaart tussen Euclidische ruimten. Voor een functie f: R^n → R^m is de Jacobiaanse matrix J_f(x) op een punt x ∈ R^n een m×n matrix met de elementen ∂f_i/∂x_j, waarbij i loopt van 1 tot m en j van 1 tot n. Deze matrix geeft de beste lineaire benadering van f bij x; de afgeleide informatie bepaalt hoe kleine veranderingen in de invoer de uitvoer beïnvloeden.

Notaties en interpretatie: J_f(x) wordt ook wel aangeduid als Df(x). Als m = n en det J_f(x) ≠ 0, dan is de kaart lokaal invertibel volgens de inverse function theorem. De determinant van de Jacobiaanse matrix, de Jacobiaanse determinant, bepaalt lokaal het volume- of oriëntatie-effect van de kaart. Bij niet-vierkante Jacobianen (m ≠ n) spreekt men eerder over het rang- of differentieerbaar gedrag dan over een determinant.

Toepassingen: De Jacobiaanse matrix is fundamenteel bij lineaire benadering (f(x+h) ≈ f(x) + J_f(x)h), bij de verandering van variabelen in integralen (de Jacobiaanse determinant verschijnt in de substitutie-formule), en bij criteria voor lokale invertibiliteit of immersie/diffeomorfisme. In de wiskunde en de toegepaste disciplines wordt de Jacobianmatrix ook gebruikt in dynamical systems, optimalisatie, robotica en multimodale transformaties.

Voorbeelden: Voor f(x,y) = (x^2 + y, sin(xy)) is J_f(x,y) = [[2x, 1], [y cos(xy), x cos(xy)]]. Een eenvoudigere kaart f(x,y) = (x+y, x−y) heeft J_f = [[1,1],[1,−1]] met det J_f = −2.

Samengevat beschrijven Jacobianmatrixen hoe een kaart lokaal uitrekt of roteert en vormen ze de basis voor vele berekeningen onderweg in analyse en toepassing.