Hauptkomponente

Hauptkomponente ist ein Begriff aus der Statistik, der in der Hauptkomponentenanalyse (PCA) verwendet wird. Sie bezeichnet eine Richtung im Merkmalsraum, entlang der die Daten die größteVarianz aufweisen. Die Hauptkomponenten bilden eine Folge orthogonaler Richtungen, die als neue Koordinatenbasis dient. Mathematisch entsprechen die Hauptkomponenten den Eigenvektoren der Kovarianzmatrix der Daten oder den Spalten der Matrizen, die aus der singulärwertzerlegung (SVD) der zentrierten Daten resultieren. Die Reihenfolge der Komponenten entspricht der Größe der jeweiligen Varianz, die sie erklären.

Berechnung: Zunächst werden die Merkmale zentriert (und ggf. skaliert). Dann wird die Kovarianzmatrix Cov(X) berechnet und das Eigenwertproblem Cov(X) v = λ v gelöst. Die Hauptkomponenten sind die Projektionen der Daten auf die Eigenrichtungen, X v. Alternativ führt die SVD X = U Σ V^T dazu, wobei die Spalten von V die Hauptkomponentenrichtungen und die Diagonalwerte von Σ die erklärte Varianz liefern.

Interpretation: Jede Hauptkomponente ist eine lineare Kombination der ursprünglichen Variablen; die Koeffizienten (Loadings) zeigen deren Beitragsstärke. Die erste Komponente erklärt den größten Anteil der Varianz, die folgenden unter der Bedingung der Orthogonalität. Die Komponenten sind zwar technisch aussagekräftig, ihre inhaltliche Interpretation hängt stark von den Variablen ab.

Anwendungen und Einschränkungen: PCA dient der Dimensionsreduktion, Visualisierung, Rauschunterdrückung und Feature-Extraction in Bereichen wie Bildverarbeitung, Genomik oder Finanzanalyse. Einschränkungen: linear, empfindlich gegenüber Skalierung und Ausreißern; Komponenten können schwer interpretierbar sein und setzen eine geeignete Standardisierung voraus.

Siehe auch: Principal Component Analysis; SVD; Dimensionality Reduction.