Eigenrichtungen

Eigenrichtungen sind die Richtungen, in denen eine lineare Abbildung T einen Vektor v auf ein Vielfaches von sich selbst abbildet: T(v) = λ v, wobei λ der zugehörige Eigenwert ist. Die Richtung des Vektors v bleibt dabei unverändert (nur seine Länge wird skaliert). Die durch v erzeugte Gerade, der sogenannte Eigenrichtung, ist unter der Abbildung invariant.

Mathematisch betrachtet arbeitet man mit einer Matrix A, die eine Abbildung darstellt. Ein Vektor v ≠ 0 ist genau dann ein Eigenvektor von A mit dem Eigenwert λ, wenn (A − λI)v = 0 gilt. Die möglichen Werte von λ erhält man aus dem charakteristischen Polynom det(A − λI) = 0. Die zugehörigen Eigenrichtungen sind dann die Nullräume der Matrizen (A − λI).

In der Praxis treten Eigenrichtungen oft in realen Kontexten auf, insbesondere bei symmetrischen Matrizen. Für solche Matrizen sind alle Eigenwerte real und Eigenrichtungen, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, orthogonal zueinander. Dadurch ist eine orthogonale Diagonalisation möglich: A = QΛQ^T, wobei Λ die Eigenwerte enthält und Q aus den jeweiligen Einheits-Eigenrichtungen besteht. Diese Eigentlichen Richtungen werden häufig als Hauptrichtungen oder Hauptachsen bezeichnet und liefern eine einfache Darstellung der Abbildung durch Diagonalisierung.

Anwendungen finden sich unter anderem in der Mechanik (principal stresses und principal strains), der Bewegungs- und Wellenanalyse ( normale Moden), der Computergraphik und der Datenanalyse (Richtungen der größten Varianz in Datensätzen). Allgemein dienen Eigenrichtungen dazu, eine lineare Transformation durch Skalierung entlang bestimmter Richtungen zu charakterisieren.

Zusammengefasst: Eigenrichtungen sind die invariantesten Richtungen einer linearen Abbildung, entspringend aus Eigenvektoren, und liefern eine zentrale Sicht auf die Struktur der Transformation durch deren Eigenwerte.