Grenzmaße

Grenzmaße, plural for Grenzmaß, bezeichnet in der Maßtheorie und Wahrscheinlichkeit ein Grenzverhalten von Folgen von Maßen. Gegeben ein messbarer Raum (X, F) und eine Folge von endlichen Maßen μ_n auf X, heißt ein Maß μ das Grenzmaß oder Grenzmaß der Folge, wenn μ_n gegen μ konvergiert im Sinn der schwachen Konvergenz: Für alle beschränkten stetigen Funktionen f: X → R gilt ∫ f dμ_n → ∫ f dμ. Sind μ_n Wahrscheinlichkeitsmaße (μ_n(X) = 1), spricht man von einer Grenzverteilung; dann konvergieren μ_n gegen μ schwach und μ ist ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

In lokalkompakten Räumen oder Polnischen Räumen verwendet man oft die vage Konvergenz mit Testfunktionen mit kompaktem Rand. Das Portmanteau-Theorem liefert äquivalente Charakterisierungen der schwachen Konvergenz, etwa Konvergenz von Maßen für Mengen mit Stetigkeitsmengen oder offenen bzw. abgeschlossenen Mengen.

Beispiele veranschaulichen die Bedeutung: Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Verteilung der normalisierten Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen gegen eine Normalverteilung konvergiert, d. h. μ_n ⇒ μ mit μ entsprechend der Normalverteilung. Ein Dirac-Delta-Sequence δ_{x_n} konvergiert gegen δ_x, wenn x_n gegen x konvergiert. Umgekehrt kann eine Folge von Maßen auch ohne Konvergenz bleiben; oft hilft Prokhorovs Theorem, dass bei Tendenz zur Stetigkeit einer Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen eine schwache Teilfolge existiert.

Anwendungen finden Grenzmaße in der Statistik, der empirischen Maßtheorie, der Dynamik und der statistischen Mechanik, wo sie das asymptotische Verhalten von Systemen beschreiben.