Gitterverfahren

Gitterverfahren bezeichnet eine Gruppe numerischer Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen, bei denen ein Kontinuum durch ein diskretes Netz, ein Gitter, ersetzt wird. Die zentrale Idee ist, Ableitungen durch diskrete Differenzen oder andere Approximationen zu ersetzen, sodass sich auf den Gitterpunkten algebraische Gleichungen ergeben. Typischerweise wird das räumliche Gebiet durch eine Menge von Knotenpunkten abgebildet; zeitabhängige Probleme verwenden eine zeitliche Diskretisierung. Rand- und Anfangsbedingungen müssen entsprechend implementiert werden. Die Lösung erfolgt meist iterativ oder durch Lösung eines linearen oder nichtlinearen Gleichungssystems.

Zu den bekanntesten Gitterverfahren gehören Finite-Differenzen-Verfahren auf regulären Gittern, Finite-Volumen-Ansätze und lattice-basierte Verfahren. In der Familie der lattice-Verfahren spielen unter anderem die Lattice-Boltzmann-Methode und das Lattice-Gas-Verfahren eine zentrale Rolle, insbesondere in der Strömungsmechanik. Diese Ansätze verwenden diskrete Geschwindigkeiten und Mikroprozesse, die sich makroskopisch zu den gewünschten Gleichungen summieren lassen.

Anwendungsgebiete umfassen die Lösung von Poisson- und Wärmetransportgleichungen, Elektro- und Magnetfelder, Wärmeleitung sowie mehrdimensionale Diffusions- und Fluiddynamikprobleme. Gitterverfahren finden sich in der Computational Fluid Dynamics (CFD), der Materialwissenschaft, der Biomedizin und der Elektromagnetik.

Vorteile sind eine vergleichsweise einfache Implementierung, gute Skalierbarkeit auf Parallelrechnern und transparente Fehlerabschätzung auf regelmäßigen Gittern. Nachteile ergeben sich bei komplexeren Geometrien, wo unstrukturiertes Netzbau, Mesh-Adaptivität oder andere Methoden bevorzugt werden. Gitterverfahren bleiben jedoch eine grundlegende Klasse in der numerischen Lösung von PDEs.