Gesamtverteilung

Gesamtverteilung bezeichnet in der Statistik die Verteilung einer Zufallsvariable oder eines Zufallsvektors über den gesamten Verteilungsraum. Sie liefert die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ergebnisse zusammen und wird oft durch die gemeinsame Verteilungsfunktion F_X oder, bei stetigen Variablen, durch eine gemeinsame Dichte f_X beschrieben. Für einen Zufallsvektor X = (X1, ..., Xk) gilt: F_X(x1, ..., xk) = P(X1 ≤ x1, ..., Xk ≤ xk). Bei stetigen Variablen wird die Gesamtverteilung durch die Dichte f_X beschrieben, die so beschaffen ist, dass das Integral über den gesamten Raum 1 ergibt. Die Randverteilungen oder Marginalverteilungen entstehen durch Ausintegration der Gesamtverteilung über die übrigen Komponenten.

Bei diskreten Variablen heißen die Wahrscheinlichkeitsmassen P(X1 = x1, ..., Xk = xk). Die Gesamtverteilung ermöglicht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten komplexer Ereignisse und die Analyse der Abhängigkeiten zwischen Variablen, während Marginalverteilungen nur die Verteilung einzelner Größen beschreiben.

Die Gesamtverteilung lässt sich auch aus Stichprobendaten schätzen. Die empirische Verteilungsfunktion F_n gibt die Häufigkeit der Beobachtungen bis zu jedem Wert wieder; Histogramme oder Kernel-Density-Schätzungen beschreiben die Gesamtverteilung grafisch.

Anwendungen finden sich in Risiko- und Versicherungswesen, Ökonomie, Umweltforschung und Statistikmodellierung, wo das Verständnis der gemeinsamen Verteilung von Variablen zentral ist. Die Gesamtverteilung bildet damit eine zentrale Grundlage für Wahrscheinlichkeits- und Inferenzrechnungen.