Funktionszuordnung

Funktionszuordnung ist ein zentrales Konzept der Mathematik, das beschreibt, wie jedem Element eines Definitionsbereichs D eindeutig ein Element des Wertebereichs W zugeordnet wird. Formal wird eine Funktionszuordnung F als Abbildung bezeichnet, die D nach W abbildet: F: D -> W. Für jedes x in D existiert genau ein y in W mit F(x) = y. Eine solche Zuordnung heißt total, wenn für alle x in D ein Funktionswert definiert ist; ist dies nicht der Fall, spricht man von einer partiellen Funktion oder einer Teildomänenabbildung.

Zu den Eigenschaften von Funktionen gehören Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Eine injektive Abbildung ordnet verschiedenen Elementen von D verschiedene Elemente von W zu; eine surjektive Abbildung trifft jeden Wert in W mindestens einmal; eine Bijektivität vereint beides.

Beispiele: 1) f: {1,2,3} -> {0,1} mit f(1)=0, f(2)=0, f(3)=1; diese Funktion ist total und surjektiv, aber nicht injektiv. 2) g: {1,2,3} -> {0,1,2} mit g(1)=0, g(2)=1, g(3)=2; hier handelt es sich um eine bijektive Zuordnung.

Anwendungsgebiete finden sich in der Analysis, Linearen Algebra und Informatik: Funktionen modellieren Abbildungen zwischen Mengen, Datenstrukturen nutzen Funktionszuordnungen zur Zuweisung von Eingaben zu Ausgaben, und in Programmiersprachen dienen Funktionsdefinitionen der Bestimmung von Ausgabewerten aus Eingabewerten.