Ergodiciteit

Ergodiciteit is een eigenschap van een dynamisch systeem of van een stochastisch proces waarbij tijdgemiddelde observables op de lange termijn gelijk zijn aan de verwachtingswaarde met betrekking tot een statische verdeling van toestanden (het ensemble). In de praktijk betekent dit dat met een lange waarneming van één enkel traject de statistiek van het systeem representatief kan zijn voor de statistiek van alle mogelijke toestanden.

In de formele setting van een maatbehoudende transformatie T op een maatruimte (X, F, μ) is ergodiciteit gedefinieerd als: elke invariant set A (toepassing T^{-1}(A)=A) heeft μ(A)=0 of μ(A)=1. In dat geval geldt de Birkhoff-ergodic theorem: voor elke integrabele functie f geldt dat (1/n) ∑_{k=0}^{n-1} f(T^k(x)) convergeert bijna surely naar Eμ[f].

In stochastische processen en Markov-ketens betekent ergodiciteit dat tijdgemiddelde observables convergeren naar de verwachtingswaarde onder een stationaire verdeling, en dat de verdeling van X_t na verloop van tijd onafhankelijk wordt van het beginpunt. Bij irreducible Markov-ketens bestaat er een unieke stationaire verdeling en is de keten ergodisch.

Ergodiciteit is een zwakkere eigenschap dan mixing; mixing impliceert ergodiciteit, maar een ergodisch systeem hoeft niet te voldoen aan de strengere mixing-eigenschap. Toepassingen vindt men in statistische mechanica, waar de ergodische hypothese stelt dat tijdgemiddelde observables gelijk zijn aan ensemblegemiddelde, in informatie- en kansrekening en in econometrie.