Elastizitätslehre

Elastizitätslehre, auch Theorie der Elastizität genannt, ist ein Teilbereich der Kontinuumsmechanik, der sich mit Verformung, Spannungsverteilung und dem zeitlichen Verhalten elastischer Körper unter äußeren Kräften befasst. Sie bildet die Grundlage für das Verständnis des Verhaltens von Feststoffen in Technik und Natur und greift je nach Material in linearer oder nichtlinearer Weise.

Im kinematischen Modell wird die Verschiebung des Materials durch ein Feld u(x,t) beschrieben. Der lineare, kleine Verformungsbereich führt zur Deformationstensor epsilon_ij = 1/2 (u_i,j + u_j,i). Die Spannungstensor sigma_ij steht in Beziehung zur Dehnung durch das Materialgesetz. In der klassischen linearen, isotropen Elastizität gilt das Hookesche Gesetz sigma_ij = lambda delta_ij epsilon_kk + 2 mu epsilon_ij, wobei lambda und mu die Lamé-Parameter sind; alternativ werden das Young-Modul E und die Poissonzahl ν verwendet.

Die Bewegungs- bzw. Gleichgewichtsführung erhält man aus den Cauchy-Gleichungen: div sigma + f = rho a. Für statische Probleme gilt f = div sigma, woraus sich die Navier-Cauchy-Gleichungen mu nabla^2 u + (lambda + mu) grad div u + f = rho d^2u/dt^2 ableiten. Materialien können neben Elastizität auch nichtlinearerverhalten, Zeitabhängigkeit (Viskoelastizität) oder plastische Verformung zeigen; dann erweitert man die Modelle entsprechend.

Anwendungen finden sich in Bauwesen, Maschinenbau, Geotechnik, Materialkunde und Geophysik. Die Elastizitätslehre hat eine lange Geschichte mit Beiträgen von Hooke, Cauchy, Navier und Lame und dient als Grundlage für weiterführende Theorien der Festkörperdeformation.