Einddimensionale

Einddimensionale wordt in de wiskunde gebruikt om een vectorruimte te beschrijven die een eindige basis heeft. Een einddimensionale vectorruimte V over een veld F is een vectorruimte waarvoor er een eindige verzameling B bestaat waarvan elke vector v in V kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de vectoren in B. De dimensie dim_F(V) is het aantal vectoren in zo’n basis. In dit verband betekent einddimensionaal dat deze dimensie eindig is.

Eigenschappen: Alle basissen van een einddimensionale ruimte hebben dezelfde grootte, wat volgt uit de stelling van de dimensie. Hierdoor is de dimensie een invariantie van de ruimte. Elke lineair onafhankelijke verzameling in V kan worden uitgebreid tot een basis, en elke subruimte van een einddimensionale ruimte is ook einddimensionaal. Voor een vlakke subruimte U ⊆ V geldt bovendien dim(U) ≤ dim(V). Als T: V → W een lineaire afbeelding is tussen einddimensionale ruimtes, kan T volledig worden voorgesteld door een matrix, in één gekozen basis.

Voorbeelden: De ruimte R^n met de gebruikelijke bewerkingen is een einddimensionale vectorruimte met dim(R^n) = n. De ruimte P_n van polynomen met graden ≤ n is einddimensionaal en heeft dim = n+1. Daarentegen zijn de ruimtes van alle continue functies op een interval en de ruimte van alle reeksen oneindimensionaal.

Waarvan toepassing: Einddimensionale ruimtes vormen de basis van de lineaire algebra en matrixrepresentaties. Veel algoritmen en theorieën zijn gericht op finite-dimensional settings, waarbij coordinatentransformaties en matrixrank centraal staan. Het begrip vormt een uitgangspunt voor analyse, lineaire systemen en numerieke berekeningen.