einddimensionaal

Einddimensionaal is een wiskundige term die aangeeft dat een vectorruimte een eindig aantal dimensies heeft. Vaak gaat het om vectorruimten over een veld K, bijvoorbeeld de reële getallen R of de complexe getallen C. Een vectorruimte V is einddimensionaal als er een eindige verzameling vectoren bestaat die een basis vormen; de dimensie dim V is dan een positief geheel getal.

Belangrijke eigenschappen: alle bases van V hebben dezelfde lengte, namelijk dim V. Daarmee is V φ-isomorf met K^n, waarbij n = dim V. Op een einddimensionale ruimte kunnen lineaire afbeeldingen T: V → W worden voorgesteld door matrices; de verzameling van alle lineaire afbeeldingen tussen twee einddimensionale ruimten is zelf einddimensionaal. Indien dim V = n, dan wordt elke lineaire operator T op V gerepresenteerd door een n×n-matrix.

Onderruimten: elke onderruimte U van V is ook einddimensionaal en dim U ≤ dim V. Voor subruimten geldt bijvoorbeeld dim(U+W) = dim U + dim W − dim(U∩W).

Voorbeelden: R^n met de standaardbasis, de ruimte van polynomen met graad ≤ n−1, of meer algemeen elke vectorruimte met een eindige basis.

Contrast met oneindimensionale ruimten: veel functionaal-analytische en functionele ruimtes, zoals L^2[0,1] of C([0,1]), zijn oneindimensionaal en hebben geen eindige basis.

Toepassingen: omdat alle lineaire afbeeldingen op einddimensionale ruimten door matrices worden gerepresenteerd, kunnen many-aard van berekeningen en classificaties worden uitgevoerd met lineaire algebra. In veel theorieën ontstaat dan een vereenvoudigde en uniforme structuur.