Drehinvariante

Drehinvariante (Drehinvarianz) bezeichnet die Eigenschaft eines Objekts oder einer Größe, unverändert zu bleiben, wenn der zugrunde liegende Raum durch eine Drehung transformiert wird. In der Mathematik wird dies formell über die Gruppe der Rotationen SO(n) beschrieben. Eine Funktion f: R^n -> R heißt drehinvariant, wenn für alle Rotationen R in SO(n) und alle x in R^n gilt: f(Rx) = f(x). Ebenso ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung μ auf R^n drehinvariant, wenn RX und X dieselbe Verteilung haben für alle R in SO(n).

Beispiele: Die Norm eines Vektors ||x|| ist drehinvariant, da ||Rx|| = ||x|| für jede Rotation R. Der Abstand zwischen zwei Punkten x und y ist invariant unter Drehungen, denn ||Rx - Ry|| = ||x - y||. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist unter gemeinsamen Drehungen invariant, da (Rx)·(Ry) = x·y, wenn beide Vektoren derselben Rotation ausgesetzt sind.

Anwendungen: Drehinvarianz spielt eine zentrale Rolle in Geometrie, Physik und Statistik. In der Bildverarbeitung und im maschinellen Lernen werden drehinvariante Merkmale oder Modelle bevorzugt, um Objekte unabhängig von ihrer Ausrichtung zu erkennen (zum Beispiel rotation-invariant features in SIFT oder ORB). In der Geometrie dienen invarianten Größen dazu, Objekte unabhängig von ihrer Orientierung zu beschreiben, und in der Physik tritt Rotationssymmetrie als fundamentales Prinzip auf.

Zusammengefasst beschreibt Drehinvarianz die Unabhängigkeit von Rotationen und ist eng mit der Darstellung von Symmetrien durch die Rotationsgruppe verbunden.