DiracGleichungen

Die Dirac-Gleichung ist eine relativistische Wellengleichung für Fermionen mit Spin 1/2. Sie wurde von Paul Dirac 1928 entwickelt, um die Quantenmechanik mit der Speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu bringen und das intrinsische Spin-Phänomen zu erklären. Die Gleichung beschreibt Elektronen und Positronen und führt eine vierkomponentige Spinorfunktion ψ ein.

Mathematisch wird sie durch die Dirac-Matrizen γ^μ geprägt, die die Clifford-Algebra {γ^μ, γ^ν} = 2 η^{μν} I erfüllen. In natürlicher Einheit (ħ = c = 1) lautet die Form: (i γ^μ ∂_μ − m) ψ = 0. Durch minimale Kopplung an das elektromagnetische Feld erweitert man sie zu (i γ^μ (∂_μ + i e A_μ) − m) ψ = 0, was die Wechselwirkung mit Feldern beschreibt.

Die Gleichung besitzt vier unabhängige Freiheitsgrade pro Impuls, entsprechend der zwei Spinrichtungen des Teilchens sowie zwei Zuständen des Antiteilchens. Sie liefert die relativistische Energie-Impuls-Beziehung E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4. Historisch führten negative Energie-Lösungen zum Antiteilchen-Konzept; in der Quantenfeldtheorie werden Teilchen- und Antiteilchen-Zustände durch Feldoperatoren beschrieben.

Der Nichtrelativistische Grenzfall führt zur Pauli-Gleichung, die Spin-Kopplung an Magnetfelder enthält. Die Dirac-Gleichung kann in verschiedenen Darstellungen der γ-Matrizen formuliert werden (Dirac-, Weyl- oder Majorana-Formen). In gekrümmter Raumzeit erfordert sie zusätzlich die Spin-Verbindung.

Anwendungen finden sich in der relativistischen Quantenmechanik, der Quanten-Elektrodynamik (QED) und der Teilchenphysik. Als Fundament bildet sie den Übergang von der Quantenmechanik zur Feldtheorie, indem Feldoperatoren die Teilchen- und Antiteilchenquellen beschreiben.