Feldoperatoren

Feldoperatoren sind zentrale Objekte der Quantenfeldtheorie. Sie ordnen einem quantisierten Feld Operatoren zu, welche die Erzeugung und Vernichtung von Quanten des Feldes beschreiben. Da Felder in der Praxis als Operatorwert-Verteilungen auftreten, werden sie in der Regel durch Verschmierung mit Testfunktionen definiert, etwa φ(f) = ∫ d^4x f(x) φ(x). Feldoperatoren wirken auf einen Hilbertraum, häufig den Fockraum, und ermöglichen so die Beschreibung von Zustandswechseln mit unterschiedlicher Teilchenzahl.

In der Quantenfeldtheorie erfüllen Feldoperatoren oft kanonische Kommutations- oder Antikommutationsrelationen. Für bosonische Felder, wie ein realer Skalarfield, gelten zeitgleich die kanonischen Relationen [φ(x,t), π(y,t)] = i δ^3(x − y) und [φ(x,t), φ(y,t)] = [π(x,t), π(y,t)] = 0, wobei π die konjugierte Feldimpulsdichte ist. Diese Strukturen führen zu Mikrokausalität: Felder kommutieren, wenn die Punkte x und y räumlich getrennt und zeitlich spacerelativ zueinander liegen.

Feldoperatoren unterscheiden sich je nach Statistik des Feldes. Bosonische Felder verwenden kommutatorische Beziehungen zwischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, fermionische Felder Antikommutatoren. Beispielhaft führt die Expansion eines freien Skalarfelds φ(x) in Moden zum Erzeugungsoperator a†(k) und Vernichtungsoperator a(k) mit [a(k), a†(k′)] = (2π)^3 δ^3(k − k′) (Konventionen variieren). Dirac-Felder verwenden Antikommutatoren für Fermionen.

Feldoperatoren ermöglichen den Aufbau von Observablen (z. B. Energie-Momentum-Tensor, Currents) und die Beschreibung von Dynamik über den Hamiltonoperator. Sie sind meist distributionsartig definiert und erfordern Regularisierung und Renormalisierung bei Interaktionen.