Differentiaalien

Differentiaalien, ook wel differentials genoemd, verwijzen naar infinitesimale wijzigingen van een variabele die samenhangen met veranderingen in een gerelateerde variabele. In de context van een functie y = f(x) wordt de differentiaal van y aangeduid als dy en gedefinieerd als dy = f'(x) dx, waarbij dx een infinitesimale verandering in x is. Daarmee geeft dy de lineaire benadering van de verandering in y voor een kleine verandering in x.

In het multivariate geval is de totale differentiaal van een functie f(x1, x2, ..., xn) gegeven door df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn. De dxi staan voor infinitesimale veranderingen in de inputvariabelen. In moderne analyse worden differentiaalien vaak gezien als lineaire functionals die een vector van kleine veranderingen map naar een verandering in de output.

Differentiaalien dienen als hulpmiddel bij de lineaire benadering van veranderingen, oftewel linearisatie. Ze spelen ook een sleutelrol bij de wijziging van variabele in integratie (de substitutieregel) en vormen de basis van differential forms in differentialemeetkunde. Hoewel ze intuïtief lijken op kleine getallen, zijn differentiaalien in strikte wiskundige context concepten die het idee van de verandering van een functie vastleggen en gebruiken om veranderingen te koppelen aan de inputvariaties.