Definierbaarheid

Definierbaarheid is een term uit de wiskundige logica en de modeltheorie die beschrijft welke elementen of verzamelingen binnen een gegeven structuur met een logische formule expliciet kunnen worden gespecificeerd. Een set wordt definieerbaar genoemd als er een formule bestaat die precies de elementen aanduidt die aan de formule voldoen.

In een eerste-orde-setting werkt men met een structuur M voor een taal L. Een n-dimensionale verzameling S ⊆ M^n is definieerbaar in M (met parameters) als er een L-formule φ(x1,...,xn; a1,...,ak) bestaat en een k-tuple a uit M zodanig dat S = { (m1,...,mn) ∈ M^n : M ⊨ φ(m1,...,mn; a) }. De parameters uit M maken het mogelijk om aanvullende elementen bij de definieerbaarheid te betrekken.

Wanneer φ zonder parameters is, spreken we van definieerbaarheid zonder parameters; dergelijke definities zijn relatief invariant ten opzichte van de gekozen representaties van M en hangen af van de structuur zelf.

Een eenvoudige illustratie in R met de standaardoperaties is de verzameling { x ∈ R : x^2 < 2 }, definieerbaar door de formule x^2 < 2. In andere structuren kunnen definieerbare verzamelingen complexere vormen aannemen; feitelijk is elke hoeveelheid definieerbaar als er een passende formule bestaat, eventueel met parameters uit M.

Definieerbare sluiting: de definieerbare sluiting dcl(A) van een verzameling A in M bestaat uit alle elementen die definieerbaar zijn in M met parameters uit A. Deze sluiting is een nuttig hulpmiddel bij modeltheoretische concepten zoals types en afhankelijkheidsrelaties.

Toepassingen en gerelateerde concepten: definability speelt een centrale rol in de studie van onder meer o-minimaliteit, stabiliteit en eliminatie van kwantoren, evenals bij het begrijpen van structuren in algebraïsche contexten waar definierbare sets de belangrijkste objecten vormen.