Decompositiemethoden

Decompositiemethoden verwijzen in de wiskundige en computationele context naar methoden om een matrix of systeem te ontbinden in factoren met eenvoudigere structuur. Het doel is onder andere het efficiënter oplossen van lineaire systemen, het berekenen van inversen of pseudo-inversen, het verkrijgen van inzicht in de matrixeigenschappen en het versnellen van verdere berekeningen zoals determinanten, eigendecompositie of datareductie.

Veelgebruikte matrixdecomposities zijn onder meer de LU- of PLU-decompositie (A = P L U of A = P L U met pivots), de Cholesky-decompositie (A = L L^T voor symmetrische positieve-definiete matrices), de QR-decompositie (A = Q R met Q orthonormaal) en de singular value decomposition of SVD (A = U Σ V^T). Daarnaast bestaan er eigendecompositie (A = V Λ V^{-1}, of in het geval van diagonalisatie voor symmetrieke matrices A = Q Λ Q^T) en de Schur-decompositie (A = Q T Q^T). De aanwezigheid en uniciteit van de decompositie hangen af van de matrixeigenschappen en het gekozen pivotschema.

Toepassingen omvatten het oplossen van lineaire systemen, waar de factorisatie oplosprocessen vereenvoudigt; het uitvoeren van lineaire least squares-analyses; het berekenen van expliciete inversen of pseudoinversen; en datareductie- en tekenanalyse-technieken zoals PCA die gebruikmaken van SVD. De stabiliteit en rekenkosten variëren per methode; SVD biedt doorgaans de grootste numerieke stabiliteit, terwijl LU en QR vaak sneller zijn bij goed gepivoteteerde matrices.