Coverabbildungen

Coverabbildungen, im Deutschen übliche Bezeichnung Überlagerungsabbildungen, sind zentrale Konzepte der Topologie. Eine Abbildung p: E → B zwischen topologischen Räumen heißt Coverabbildung, wenn sie surjektiv ist und es für jedes b ∈ B eine offene Umgebung U von b gibt, sodass p^{-1}(U) eine disjunkte Vereinigung offener Mengen V_i besitzt, wobei p|_{V_i}: V_i → U eine Homöomorphie ist. E wird als Überlagerungsraum von B bezeichnet; B ist der Basisraum. Die Faser p^{-1}(b) heißt Faser über b. In einer Überlagerung hat jede Faser dieselbe Kardinalität, und p ist ein lokaler Homöomorphismus (offene Abbildung).

Eigenschaften: Überlagerungsabbildungen besitzen die Wegliftungseigenschaft: Zu jedem Weg γ:[0,1]→B und jeder Startpunkt e0 ∈ p^{-1}(γ(0)) gibt es einen Lift γ̃:[0,1]→E mit γ̃(0)=e0 und p∘γ̃=γ. Ähnliche Homotopie-Liftung gilt. Falls B pfadverknüpft, liefert eine universelle Überlagerung Ē → B eine einfach zusammenhängende Abbildung. Die Gruppe der Decktransformationen von Ē über B ist isomorph zu π1(B,b0)/p⋅π1(Ē,ĕ0).

Klassifikation: Unter geeigneten Voraussetzungen korrespondieren zusammenhängende Überlagerungen von B mit Untergruppen von π1(B,b0). Der universelle Überlagerungsraum entspricht der triviale Untergruppe; andere Überlagerungen entstehen durch Untergruppen der Grundgruppe.

Beispiele: Der Exponentialweg p: R → S^1, t ↦ e^{it}, ist eine Überlagerungsabbildung; triviale Überlagerungen haben Form B × F → B.

Anwendungen: Bestimmung der Fundamentalgruppe, Untersuchung von Oberflächen und Riemannschen Flächen.

Synonyme: Überlagerungsabbildung, Überlagerungsprojektion.