Überlagerungsabbildungen
Eine Überlagerungsabbildung (englisch covering map) p: E → B ist eine stetige, surjektive Abbildung zwischen topologischen Räumen, die folgendermaßen verifiziert ist: Für jedes b ∈ B existiert eine Umgebung U von b, sodass p^{-1}(U) als disjunkte Vereinigung sum Oi von offenen Mengen Oi ⊂ E zerfällt und jede Einschränkung p|Oi: Oi → U eine Homöomorphie ist. E nennt man Überlagerungsraum, B Basisraum. Man sagt, p ist eine lokale Homöomorphie.
Wichtige Eigenschaften sind: p ist eine lokale Homöomorphie, die Fasern p^{-1}(b) sind diskret, und die Anzahl
Beispiele: Der Projektion p: R → S^1, t ↦ e^{2πit}, ist eine unendliche Überlagerung mit Blattzahl unendlich. Die
Zusammenhang mit der Fundamentalgruppe: Unter zusätzlichen Annahmen (B ist zusammenhängend, lokal zusammenhängend und lokal einfach zusammenhörend)
Lifttheoreme wie Pfad- und Homotopie-Liftings sichern, dass Lifts eindeutig sind, sobald Startpunkt gegeben ist. Endlich Blattüberlagerungen