Überlagerungsabbildungen

Eine Überlagerungsabbildung (englisch covering map) p: E → B ist eine stetige, surjektive Abbildung zwischen topologischen Räumen, die folgendermaßen verifiziert ist: Für jedes b ∈ B existiert eine Umgebung U von b, sodass p^{-1}(U) als disjunkte Vereinigung sum Oi von offenen Mengen Oi ⊂ E zerfällt und jede Einschränkung p|Oi: Oi → U eine Homöomorphie ist. E nennt man Überlagerungsraum, B Basisraum. Man sagt, p ist eine lokale Homöomorphie.

Wichtige Eigenschaften sind: p ist eine lokale Homöomorphie, die Fasern p^{-1}(b) sind diskret, und die Anzahl der Blätter (Blattzahl) ist in jeder komponenten von B konstant, insbesondere bei endblätterigen Überlagerungen. Jedes Überschussgewebe von U erfüllt die Bedingung der „Evenly Covered“ness: p^{-1}(U) zerfällt in Heimomorphie-Teilmengen, die auf U bijektiv wirken.

Beispiele: Der Projektion p: R → S^1, t ↦ e^{2πit}, ist eine unendliche Überlagerung mit Blattzahl unendlich. Die Abbildung p: S^1 → S^1, z ↦ z^n, ist eine endliche Überlagerung der Ordnung n. Allgemein entstehen Überlagerungen oft durch Quotientenbildungen oder durch Subspaces, die durch Gruppenaktionen erzeugt werden.

Zusammenhang mit der Fundamentalgruppe: Unter zusätzlichen Annahmen (B ist zusammenhängend, lokal zusammenhängend und lokal einfach zusammenhörend) korrespondiert die Kategorie der zusammenhängenden Überlagerungen von B mit Untergruppen von π1(B). Das universelle Überlagerungspaar ist einfach zusammenhängend; deck transformations bilden dann eine Gruppe, die mit π1(B) identifiziert wird. Regularität der Überlagerung entspricht Normaluntergruppen.

Lifttheoreme wie Pfad- und Homotopie-Liftings sichern, dass Lifts eindeutig sind, sobald Startpunkt gegeben ist. Endlich Blattüberlagerungen entsprechen Subgruppen endlicher Indizes; unendliche deckungen folgen ähnlichen Prinzipien.