Categorieentheorie

Categorieentheorie is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met het abstract bestuderen van structuren en hun relaties. Een categorie bestaat uit objecten en morfismen (ook pijlen genoemd) tussen objecten. Elk object heeft een identiteitsmorfisme, en morfismen kunnen worden samengesteld; de associatieve eigenschap en identiteit zorgen ervoor dat complexe pijlen op een consistente manier kunnen worden opgebouwd.

Belangrijke bouwstenen zijn functors, die de structuur tussen twee categorieën behoudend vervoeren, en natuurlijke transformaties, die tussen twee functors een morfismefamilie leveren die natuurlijk met de objecten overeenkomt. Deze concepten geven een algemene taal om wiskundige constructies en hun relaties te formaliseren.

Limits en colimits abstraheren concepten zoals producten, coproducten, pullbacks en pushouts. Een van de centrale resultaten is het Yoneda-lemma, dat aangeeft hoe een object volledig wordt bepaald door de morfismen naar alle andere objecten in de categorie. Verdere kernideeën zijn adjointies, die twee functors op een bijzondere manier verbinden, en equivalenties van categorieën, die twee categorieën als in wezen gelijk beschouwen wanneer ze op een andere manier gepresenteerd zijn. Monads, ontstaan uit adjointies, hebben toepassingen in algebra en informatica.

Historisch gezien ontstond categorieentheorie in de jaren veertig door Eilenberg en Mac Lane en is sindsdien een centrale taal in onder meer algebra, topologie, logica en informatica. Voorbeelden zijn de categorie Set van verzamelingen en functies, Grp van groepen, Top van topologische ruimten, en poset-categorieën (poset-categorieën).

Door zijn abstracte aard biedt categorieentheorie een raamwerk voor het vergelijken en uniformeren van wiskundige concepten en ondersteunt het de formulering van fundamentele stellingen en structuren.