BranchingModellen

BranchingModellen is een verzamelnaam voor wiskundige en statistische modellen die de groei en evolutie van systemen beschrijven waarin elk individu een willekeurig aantal nakomelingen voortbrengt. Ze worden gebruikt om vertakkingen of boomachtige structuren te modelleren die ontstaan door reproductie en afstamming.

De bekendste vorm is het Galton–Watson-proces, een discrete-tijdmodel waarin ieder individu in elke periode een bepaald aantal nakomelingen voortbrengt volgens een kansverdeling, onafhankelijk van andere individuen. In continue tijd bestaan birth-death-processen, waarin geboortes en sterfgevallen voortdurend plaatsvinden. Verruimde varianten zijn multi-type branching-processen (verschillende typen individuen met type-afhankelijke nakomelingen), branching random walks (nakomelingen verplaatsen zich in ruimte), en processen met immigratie (nieuwe individuen komen van buitenaf binnen).

Belangrijke concepten zijn onder meer de verwachte groei van de populatie, gemeten door de gemiddelde nakomelingen per individu (m). De waarde van m bepaalt de criticaliteit: subkritiek (m<1), kritisch (m=1) en superkritiek (m>1). De kans op uitsterven q is vaak de kleinste oplossing van q = G(q), waarbij G de verwachtingsgenererende functie van de nakomelingen is. Voor multi-type modellen geldt een vector- of matrix-genererende functie en meerdere kritieke parameters.

Toepassingen van BranchingModellen zijn onder meer ecologie en populatiedynamica, epidemiologie voor ziekteverspreiding, genetica en evolutie, en in informatica en netwerktheorie voor boomachtige algoritmes en informatieverspreiding.

Geschiedenis: de theorie vindt wortels in de Galton–Watson-klassieker uit eind 19e eeuw en kreeg later uitgebreide wiskundige uitwerkingen.