BezierKurven

Bezierkurven, oft Bezier-Kurven genannt, sind parametrische Kurven, die durch eine endliche Folge von Kontrollpunkten P0,...,Pn bestimmt werden. Für t im Intervall [0,1] lautet die Bezierkurve B(t) = sum_{i=0}^n B_{n,i}(t) P_i, wobei B_{n,i}(t) die Bernstein-Polynome B_{n,i}(t) = C(n,i) t^i (1−t)^{n−i} sind. Die ersten und letzten Kontrollpunkte P0 bzw. Pn liegen auf der Kurve, und die Kurve bleibt im konvexen Hull der Kontrollpunkte.

Beispiele sind lineare (n=1), quadratische (n=2) und kubische (n=3) Bezierkurven; höhere Grade sind möglich. Die Form einer Bezierkurve wird allein durch die Kontrollpunkte festgelegt, wodurch eine einfache Modellierung durch Ziehen der Punkte entsteht. Eine zentrale Eigenschaft ist die affine Invarianz: Abbildungen des Koordinatensystems bewahren Form und Endpunkte. Die De Casteljau-Algorithmus erlaubt Berechnungen der Kurve und die Unterteilung in Teilkurven; er dient auch zur robusten Rasterung in Rendering-Systemen.

Rationale Bezierkurven verwenden Gewichte an den Kontrollpunkten und ermöglichen die Darstellung von Kreisen und anderen Formen. In der Weiterentwicklung führen solche Gewichte zusammen mit Bezierbasis zu NURBS (nicht uniforme rationale B-Splines), die eine flexible Repräsentation von Kurven und Flächen liefern.

Historisch entstanden Bezierkurven in der Fahrzeuggestaltung bei Renault in den 1960er Jahren; benannt sind sie nach dem französischen Ingenieur Pierre Bézier. Der De Casteljau-Algorithmus, benannt nach Paul de Casteljau, wurde unabhängig davon in den späten 1950er/1960er Jahren entwickelt und dient der robusten Berechnung und Unterteilung von Bezierkurven. In der Computergrafik finden Bezierkurven breite Anwendungen in Vektorgrafik, Schriftkonturen, CAD-Systemen, Animationen und in SVG-Pfaden.