BayesSchätzer

Der BayesSchätzer ist in der Bayesschen Statistik die Schätzregel, die aus Beobachtungen x den zu schätzenden Parameter θ anhand einer Priorverteilung π(θ) schätzt. Er zielt darauf ab, den erwarteten Verlust zu minimieren, wobei der Verlust von der Entscheidung a abhängt, die als Schätzung von θ gewählt wird.

Formale Definition: Gegeben seien Daten x, ein Wahrscheinlichkeitsmodell p(x|θ) und eine Prior π(θ). Für eine Verlustfunktion L(θ, a) wählt der BayesSchätzer δ*(x) aus dem Aktionsraum A die Entscheidung, die den bedingten Verlust E[L(θ, δ(x)) | x] minimiert: δ*(x) = argmin_a E[L(θ, a) | x].

Gängige Verlustfunktionen und resultierende Schätzer: Bei quadratischem Verlust L(θ,a)=(θ−a)^2 ergibt sich der posteriore Mittelwert E[θ|x]. Beim absoluten Fehler L(θ,a)=|θ−a| ergibt sich der posteriore Median. Bei diskreten Räumen oder 0-1-Verlust ist die Bayes-Entscheidung oft die Aktion mit der höchsten posterioren Wahrscheinlichkeit (MAP).

Abhängigkeit und Berechnung: BayesSchätzer hängen wesentlich von der Wahl der Prior π(θ) und der Verlustfunktion L ab. In einfachen Modellen mit konjugierten Priors erhält man die Posteriorverteilung oft analytisch; in komplexen Modellen kommen numerische Methoden wie Markov-Chain-Monte-Carlo oder Variational Inference zum Einsatz.

Anwendungen: BayesSchätzer finden sich in vielen Bereichen der Statistik und Wissenschaft, wo Vorwissen und Unsicherheit formal berücksichtigt werden sollen, etwa in der Medizin, Umweltforschung oder dem maschinellen Lernen.