BayesEntscheidung

Bayessche Entscheidungsregel, auch Bayesentscheidung genannt, bezeichnet in der statistischen Entscheidungstheorie eine Entscheidungsregel, die darauf abzielt, den erwarteten Verlust, das Bayesrisiko, möglichst gering zu halten. Sie verwendet ein probabilistisches Modell von Unsicherheit, bestehend aus einer Priorverteilung und einer Likelihood, um aus den Daten eine Posteriorverteilung abzuleiten.

Aus dem Modell ergibt sich die Posteriorverteilung p(θ|x) = p(x|θ)p(θ)/p(x). Die Bayessche Entscheidungsregel a*(x) minimiert die bedingte erwartete Verlustfunktion R_B(a|x) = ∫ L(θ, a) p(θ|x) dθ über θ, wobei L(θ, a) der Verlust bei der Entscheidung a für den Parameter θ ist.

Bei diskreten Entscheidungen und 0-1-Verlust (L(θ, a)=1, falls a ≠ θ, sonst 0) ergibt sich die Bayes- bzw. MAP-Entscheidung: a*(x) = argmax_θ p(θ|x). Bei anderen Verlustformen ergeben sich entsprechend unterschiedliche Bayes-Schätzungen, zum Beispiel bei quadratischem Verlust L(θ, a) = (θ − a)^2 der Bayes-Schätzer a*(x) = E[θ | x], also der Posterior-Mean; bei absolutem Fehler L(θ, a) = |θ − a| der Posterior-Median.

In der Praxis hängt die Bayessche Entscheidungsregel stark von der gewählten Verlustfunktion und der Prior ab. Sie ist zentral in der statistischen Entscheidungslehre, Mustererkennung, Medizin, Ökonometrie und maschinellem Lernen. Zur Umsetzung werden Posteriorverteilungen oft mittels Markov-Chain-Monte-Carlo oder Variational Inference approximiert; bei konjugierten Modellen ergeben sich häufig analytische Lösungen.