Basisensätze

Basisensätze ist die Bezeichnung für grundlegende Theoreme über Basen in verschiedenen mathematischen Strukturen. Der Begriff folgt dem Gedanken, dass komplexe Objekte aus einfachen Bausteinen aufgebaut werden können und sich diese Bausteine eindeutig zuordnen lassen.

Im Linearraum bezieht sich ein Basisensatz meist auf Hamel-Basen. Jeder Vektorraum besitzt eine Basis (eine linear unabhängige, den Raum erzeugende Familie), wobei deren Existenz dem Axiom der Wahl zugrunde liegt. Alle Basen eines gegebenen Vektorraums haben dieselbe Kardinalität, die Dimension des Raumes. Ist der Raum endlichdimensional, hat jede Basis eine endliche Anzahl von Vektoren; in der Praxis ermöglicht dies eine eindeutige Koordinatenzerlegung jedes Vektors in die Basis. Basiswechseländerungen werden dann durch Matrizen beschrieben. Wichtige Eigenschaften betreffen Erweiterbarkeit linear unabhängiger Mengen zu Basen und die Dualität zwischen Roh- und Koordinatennotation.

In der Topologie bezeichnet man eine Basis einer Topologie als eine Sammlung von Teilmengen, aus denen jede offene Menge durch Vereinigung gebildet wird. Eine Familie B ist eine Basis genau dann, wenn jede x in X in irgendein B aus B gehört und für alle B1,B2 in B gilt: Falls x in B1 ∩ B2 liegt, existiert B3 in B mit x in B3 ⊆ B1 ∩ B2. Aus einer Basis lässt sich die Topologie eindeutig konstruieren. Unterhalb davon gibt es das Konzept der Unterbasis, deren endliche Schnittmengen die erzeugte Topologie liefern.

Im Funktionsanalyse-Kontext spricht man auch von Schauder-Basen: Eine Folge (x_n) in einem Banachraum X ist eine Schauderbasis, wenn jedes x ∈ X eindeutig als konvergente Reihe ∑ α_n x_n geschrieben werden kann. Solche Basen existieren nicht in allen Räumen; in speziellen Räumen wie l_p oder Hilberträumen findet man sie oft, andere Räume besitzen sie möglicherweise nicht.

Basisensätze spielen eine zentrale Rolle beim Strukturverständnis von Vekturräumen, Topologien und Funktionen, indem sie die Bausteine und deren Koordination systematisch festlegen.