Asymptotischer

Asymptotischer ist die attributive Form des deutschen Adjektivs asymptotisch und wird verwendet, um Eigenschaften oder Verläufe zu beschreiben, die im Grenzwertverhalten auftreten. In der Mathematik bezeichnet es das Verhalten von Funktionen, Sequenzen oder Größen, wenn ihr Argument gegen einen Grenzwert läuft – meist gegen unendlich oder gegen einen bestimmten Wert. Der Begriff wird häufig im Zusammenhang mit Asymptoten, asymptotischem Verhalten und Asymptotik-Gleichungen verwendet.

Ein zentrales Motiv ist das Annähern an eine Grenzlinie oder einen Grenzwert, ohne diesen notwendigerweise zu erreichen. Beispiele: Eine Funktion hat eine horizontale Asymptote y = L, wenn lim_{x→∞} f(x) = L. Eine oblique (schräge) Asymptote ist eine Gerade y = ax + b, wenn lim_{x→∞} (f(x) − (ax + b)) = 0. In der Analysis spricht man auch von asymptotischer Äquivalenz, wenn f(x) ~ g(x) bedeutet, dass lim_{x→∞} f(x)/g(x) = 1. Die Groß-Oh-Notation wird ebenfalls verwendet, um das Verhalten einer Funktion für große Werte zu beschreiben (z. B. f(x) = O(g(x))).

Der Begriff findet neben der reinen Mathematik auch in anderen Fachgebieten Anwendung, etwa in der Physik, Statistik oder Informatik, wo Interessen an Grenzwerten, Verteilungen oder Laufzeiten für große Parameterwerte bestehen, etwa asymptotische Normalität oder asymptotische Laufzeiten von Algorithmen.

Etymologisch stammt asymptotisch aus dem Griechischen und beschreibt teleologisch das Annähern an eine Grenze oder Linie, die der Graph einer Funktion im Grenzwertverhalten zu erreichen scheint.