Abfolgen

Abfolgen, im Deutschen oft als Folge oder Abfolge bezeichnet, sind in der Mathematik geordnete Listen von Elementen, die durch einen Index n ∈ N eindeutig zugeordnet werden. Eine Abfolge wird üblicherweise als (a_n)_{n∈N} beschrieben, wobei jedes a_n zu einer zugrunde liegenden Menge S gehört. Die Elemente können Zahlen, Vektoren, Funktionen oder allgemein Objekte einer Menge sein.

Typische Beispiele sind arithmetische und geometrische Folgen. Bei einer arithmetischen Folge gilt a_n = a + (n−1)d, bei einer geometrischen Folge a_n = a r^{n−1}. Weitere Beispiele sind a_n = 1/n oder eine alternierende Folge a_n = (−1)^n. Abfolgen können auch definitorisch durch Rekursionsbeziehungen festgelegt werden.

Wichtige Begriffe und Eigenschaften sind Konvergenz, Divergenz, Monotonie und Beschränktheit. Eine Abfolge konvergiert gegen einen Grenzwert L, geschrieben a_n → L, wenn für jedes ε > 0 ein n0 existiert, so dass |a_n − L| < ε für alle n ≥ n0 gilt. Monotone Abfolgen steigen oder fallen nicht und beschränkte Abfolgen besitzen oft konvergente Teilfolgen. In R^m gilt nach dem Bolzano–Weierstraß-Satz: Jede beschränkte Abfolge besitzt eine konvergente Teilfolge. Eine Folge kann auch Cauchy sein, was in vollständigen Räumen gleichwertig zur Konvergenz ist.

Der Begriff unterscheidet sich von einer Reihe, deren Relevanz in den partiellen Summen S_N = ∑_{k=1}^N a_k liegt. Neben der mathematischen Bedeutung wird Abfolge in der Alltagssprache auch für eine Abfolge von Schritten oder Ereignissen verwendet; in der Fachsprache wird oft der Begriff Folge bevorzugt, Abfolge bleibt jedoch gebräuchlich.