Übergangsoperatoren

Übergangsoperatoren sind Operatoren, die den Übergang eines Systems von einem Zustand in einen anderen darstellen. Sie beschreiben, wie sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, ein Zustand oder eine Funktion durch einen Schritt oder eine zeitliche Entwicklung verändert. In der Regel wirken sie auf Funktionen des Zustandsraums oder direkt auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung, insbesondere bei Markov-Ketten, bezeichnet man einen Übergangsoperator P oder eine Übergangsmatrix P = [p(x,y)]. Dabei gilt p(x,y) als Wahrscheinlichkeit, dass X_{n+1} y ist gegeben X_n = x. Der Operator wirkt auf eine Funktion f durch (Pf)(x) = ∑_y p(x,y)f(y) (diskret) bzw. (Pf)(x) = ∫ f(y) p(x, dy) (kontinuierlich). Er erhält Positivität und Massenerhaltung (Markov-Operator). Die stationäre Verteilung π erfüllt πP = π.

In der Quantenmechanik entspricht der Übergangsoperator der zeitlichen Entwicklung. Der Zeitentwicklungsoperator U(t) = exp(-iHt/ħ) ist unitär und beschreibt die Amplitudenentwicklung über die Zeit. Übergänge zwischen Basiszuständen i und f erfolgen durch Amplituden ⟨f|U(t)|i⟩; Wahrscheinlichkeiten sind |⟨f|U(t)|i⟩|^2. In offenen Systemen werden Übergänge durch Kraus-Operatoren E_k beschrieben: ρ' = ∑ E_k ρ E_k†; hier modellieren die E_k den Zustandsübergang infolge der Umwelt.

Zusammenhang und Bedeutung: Übergangsoperatoren bilden das zentrale Werkzeug zur Beschreibung dynamischer Prozesse in diskreten wie kontinuierlichen Modellen. Ihr Spektralverhalten bestimmt oft das Langzeitverhalten, etwa Stationarität oder Konvergenz. In der Wahrscheinlichkeit führt der Generator eines Prozesses zu einer kontinuierlichen Zeit-Übergangsoperator-Entwicklung.