zWert

zWert, auch z-Wert oder z-Score genannt, ist in der Statistik ein standardisierter Wert, der angibt, wie viele Standardabweichungen ein Messwert X vom Erwartungswert μ einer Verteilung entfernt liegt. Für eine Grundgesamtheit gilt z = (X − μ) / σ, wobei σ die Standardabweichung der Verteilung ist. Falls nur eine Stichprobe mit dem Stichprobenmittelwert x̄ und der Stichprobenstandardabweichung s vorliegt, wird oft z = (X − x̄) / s verwendet.

Wenn X einer Normalverteilung N(μ, σ^2) folgt, folgt z ~ N(0,1). Die Standardnormalverteilung hat Mittelwert 0 und Standardabweichung 1; die Wahrscheinlichkeiten lassen sich über die Verteilungsfunktion Φ(z) bestimmen. Perzentile und p-Werte lassen sich aus z-Werten ableiten. In der Praxis dient der z-Wert als Maß der Lage im Vergleich zu anderen Verteilungen und ermöglicht die Standardisierung verschiedener Messgrößen.

Anwendungen: z-Werte werden in z-Tests, der Normalisierung und dem Vergleich unterschiedlicher Messgrößen verwendet; Konfidenzintervalle für Mittelwerte, wenn σ bekannt ist, lassen sich als x̄ ± z_{α/2} σ/√n formulieren. Bei unbekannter σ kommt der t-Test zum Einsatz. Outlier-Erkennung nutzt typischerweise Schwellenwerte wie |z| > 2 oder 3. Z-Werte ermöglichen zudem eine einfache Standardisierung, sodass unterschiedliche Messgrößen vergleichbar werden.

Begrenzungen: Die Interpretation des z-Werts hängt von der Normalverteilungsannahme ab. Bei deutlicher Abweichung von der Normalverteilung kann der z-Wert weniger aussagekräftig sein; in solchen Fällen können robuste Maße oder andere Transformationen sinnvoll sein.