verdeelgroepen

Verdeelgroepen, in de algebra ook wel verdelingsgroepen genoemd, zijn de groepen van veldautomorfismen die een verdelingsveld over een onderliggend veld vasthouden. Gegeven een veld K en een polynoom f(x) ∈ K[x], beschouwen we het verdelingsveld L van f over K, het kleinste veld waar f splits in lineaire factoren. De verdelingsgroep Gal(L/K) bestaat uit alle K-automorfismen σ: L → L die elke element van K fixeert. Deze automorfismen permuteren de wortels van f en leveren zo een verbinding tussen velduitbreiding en permutaties.

De groep Gal(L/K) is een feitelijke subgroep van de permutatiegroep op de set van wortels van f. Als f separabel is, dan heeft Gal(L/K) een eindige orde gelijk aan de vervangingsgraad [L:K], en beschrijft de algebraïsche structuur van f. De verdelingsgroep speelt een cruciale rol in de solvabiliteit van polynomen: een polynoom is oplosbaar door eenvoudige wortels als en alleen als Gal(L/K) oplosbaar is.

Voorbeelden illustreren het concept. Bij f(x) = x^2 − 2 over Q heeft het verdelingsveld Q(√2) en Gal(Q(√2)/Q) ≅ C2. Bij f(x) = x^3 − 2 over Q is het verdelingsveld Q(∛2, ω) met ω een primitieve derde wortel van eenheid; Gal(L/Q) heeft orde 6 en is isomorf aan S3.

Kernprincipe is de Galois-verwantschap: tussen tussenliggende velden M met K ⊆ M ⊆ L en subgroepen van Gal(L/K) bestaat een een-op-een-correspondentie. Verdeelgroepen geven zo inzicht in symmetrie en aritmetische eigenschapen van polynomen en zijn fundamenteel in de Galoistheorie.

Zie ook: Galois-theorie, splitsingsveld, polynoom, oplosbaarheid door radicals.