unimodaliteit

Unimodaliteit verwijst naar het kenmerk van een functie, rij getallen of kansverdeling waarbij er precies één modus of piek is. De term wordt gebruikt in verschillende takken van de wiskunde en statistiek en kan zowel naar continue als naar discrete objecten verwijzen. Er is onderscheid tussen strikte unimodaliteit en algemene unimodaliteit: bij strikte unimodaliteit loopt de stijging naar de piek en de daling erna zonder plateaus, terwijl bij unimodaliteit ook plateaus toegestaan kunnen zijn.

Bij kans­dichten en verdelingen omschrijft unimodaliteit vaak een enkel piekpunt. Voor continue dichtheden bestaat een unimodale verdeling als er een punt m is zodat de dichtheid f(x) niet afneemt tot m en niet toeneemt na m (oftewel f is niet dalend op (-∞, m] en niet stijgend op [m, ∞)); bij discrete verdelingen geldt: er bestaat een index k0 zodat p(1) ≤ … ≤ p(k0) en p(k0) ≥ … ≥ p(n). Een unimodale verdeling heeft dus één gebied met hogere kansen, mogelijk gevolgd door dalende kansen. Een uniforme verdeling op een interval heeft geen unieke piek en wordt doorgaans niet als unimodaal beschouwd.

Voorbeelden: de normale verdeling is unimodaal met een piek bij het gemiddelde; de exponentiële verdeling heeft een mode op 0 en is daarmee unimodaal; de uniforme verdeling heeft in strikte zin geen enkele piek en wordt meestal niet als unimodaal aangemerkt. Verdelingen met meerdere pieken zijn niet unimodaal.

Toepassingen en samenhang: unimodaliteit is relevant bij schattingen en density estimation, waarbij aannames over de vorm van de verdeling van invloed zijn op methodekeuzes. In optimalisering impliceert unimodale doelaturen dat één lokaal maximum tevens het globale maximum is. Binnen combinatoriek en analyse verschijnt unimodale als eigenschap van reeksen en gegenereerde functies, en log-concave gevolgtrekkingen impliceren vaak unimodaliteit.