trapezregel

De trapezregel, ook wel trapezregel genoemd, is een numerieke methode om een onbepaalde of vastgestelde integraal te benaderen door het gebied onder een kromme te vervangen door trapeziumvormige figuren. Het idee is om de functie op een interval te vervangen door een rechte lijn tussen de eindpunten, waardoor de integraal wordt geschat door de som van de oppervlakten van de trapezia.

Voor een enkel interval [a, b] geeft de trapezeregels de waarde

∫_a^b f(x) dx ≈ (b - a) / 2 · [f(a) + f(b)].

Bij de samengestelde trapezeregels wordt het interval opgesplitst in n subintervallen met gelijke lengte h = (b - a)/n en x_i = a + i h. De benadering is dan

∑_{i=0}^{n-1} h/2 · [f(x_i) + f(x_{i+1})],

wat ook kan worden geschreven als h · [ (f(a) + f(b))/2 + ∑_{i=1}^{n-1} f(x_i) ].

Fout en nauwkeurigheid: als f twee keer differentieerbaar is op [a, b], bestaat er een ξ in [a, b] zodanig dat

∫_a^b f(x) dx − T_n = − (b − a) h^2 / 12 · f''(ξ),

waarbij T_n de samengestelde trapezeregels is. Hiermee is de methode tweede-orde nauwkeurig, oftewel O(h^2). Een vergelijkingstoepassing laat tevens zien dat de fout afneemt als het aantal subintervallen toeneemt.

relaties en gebruik: de trapezregel is de eenvoudigste gesloten Newton-Cotes-formule en dient vaak als bouwsteen voor meer geavanceerde regels zoals Simpson’s regel. Het is geschikt voor gladde functies, maar voor functies met veel kromming kan het nodig zijn om het interval op te delen of hogere orde methoden te gebruiken.