subintervallen

Subintervallen

Een subinterval van een interval I is een interval dat volledig in I ligt. Als I bijvoorbeeld [a,b] is, dan is een subinterval J = [c,d] met a ≤ c ≤ d ≤ b. In een bredere context kunnen subintervallen ook open of halfopen zijn; de exacte eindpunten hangen af van de gebruikte definitie. Subintervallen worden vaak gebruikt om een groter interval op te splitsen in kleinere stukken.

Een partitionering van [a,b] bestaat uit een eindige rij getallen a = x0 < x1 < … < xn = b. De subintervallen zijn dan [x_{i-1}, x_i] voor i = 1,...,n. Een belangrijke eigenschap is dat de subintervallen met elkaar enkel op hun eindpunten samenkomen en samen het hele interval [a,b] bedekken. De lengte van een subinterval [c,d] is d − c; voor een degenerate subinterval [c,c] is die lengte nul. Als J ⊆ I, dan geldt lengte(J) ≤ lengte(I).

Toepassingen: subintervallen zijn fundamenteel bij de definitie van Riemann-integratie en Riemann-sommen, waarbij de waarde van een integraal wordt benaderd door de som van f(t) vermenigvuldigd met de lengtes van de subintervallen. Ze komen ook voor in stuk-gewijze gedefinieerde functies, numerieke methoden en in de maatleer, waar subintervallen helpen bij het construeren van eenvoudige functies.