Riemannsommen

Riemannsommen, eller en Riemann-sum, er et grundlæggende begreb i matematisk analyse til tilnærmelse af bestemte integraler. Den bruges til at estimere arealet under kurven af en funktion f over et interval [a, b].

En partition af intervallet [a, b] består af tallene a = x0 < x1 < ... < xn = b. Til hvert delinterval [x_{i-1}, x_i] vælges et punkt ξ_i i dette delinterval. Riemannsummen for partitionen P og punkterne ξ_i er givet ved

S(P, f, ξ) = sum_{i=1}^n f(ξ_i) (x_i - x_{i-1}).

Hvis man vælger ξ_i som venstre endepunkt, højre endepunkt eller midtpunkt i delintervallet, får man henholdsvis venstre-, højre- og gennemsnits-summe.

Når mesh-størrelsen (den største længde af delintervallerne) går til nul, konvergerer Riemannsummen til det bestemte integral, hvis grænsen eksisterer. Integraldefintionen siger, at hvis lim_{mesh→0} S(P, f, ξ) eksisterer og er uafhængig af valget af ξ i hvert tilfælde, så er dette tal den bestemte integral af f over [a, b].

Sagt mere generelt: f er Riemann-integrerbar på [a, b], hvis den øvre og nedre integral er ens. Continuous funktioner på [a, b] er altid Riemann-integrerbare; mere generelt er en begrænset funktion Riemann-integrerbar hvis mængden af dens spring er af mål 0.

Historisk er begrebet opkaldt efter Bernhard Riemann; summeformen bruges også i numerical integration som grundlag for metoder som trapezregelen og Simpson's regel.