transferfunktion

Die Übertragungsfunktion (Transferfunktion) ist ein zentrales Konzept in der Regelungstechnik, der Signalverarbeitung und der Systemtheorie. Für ein lineares zeitinvariantes System beschreibt sie das Verhältnis der Laplace-transformierten Ausgangsgröße Y(s) zur Eingangsgröße X(s) bei Null Anfangsbedingungen: H(s)=Y(s)/X(s). Im diskreten Zeitbereich verwendet man die Z-Transformation H(z)=Y(z)/X(z).

Die Übertragungsfunktion lässt sich aus der Systemdifferentialgleichung gewinnen oder aus der Impulsantwort ableiten, da H(s)=L{h(t)} und y(t)=h(t)∗u(t). Damit verbindet sie Frequenzverhalten, Dämpfung und Phasenlage mit dem Zeitverhalten des Systems. Typische Eigenschaften sind Linearität und Zeitinvarianz. Bei kausalen Systemen entspricht die Ordnung von H(s) der Ordnung der Differentialgleichung und die Impulsantwort ist null für negative Zeiten.

Pole und Nullstellen von H(s) liefern Rückschluss auf Stabilität und Frequenzgang. Für kontinuierliche Systeme müssen alle Pole im linken Halbfeld liegen; für diskrete Systeme liegen sie außerhalb des Einheitskreises. Die Region der Konvergenz bestimmt zusätzlich die Systemantwort bei gegebenen Anfangsbedingungen.

Anwendungen: Die Übertragungsfunktion dient der Analyse und dem Design von Filtern und Regelungen. Mit Bode-, Nyquist- und Root-Locus-Methoden lassen sich Verstärkung, Phasenlage, Stabilität und Reglerentwurf ableiten. Einfache Beispiele sind der Low-pass-Filter H(s)=ωc/(s+ωc) und der High-pass-Filter H(s)=s/(s+ωc).

Begrenzungen: Die Konzeptualisierung gilt nur für lineare, zeitinvariante Systeme. Nichtlineare oder zeitvariable Systeme erfordern andere Modelle. In der Praxis können Messfehler, Verzögerungen und Nichtidealitäten die Transferfunktion beeinflussen.