toestandsmatrix

Toestandsmatrix, in het vakgebied van systeemmodellering en regelkunde, is een matrix die de evolutie van de toestandvariabelen van een dynamisch systeem beschrijft. In een lineair toestandsmodel geeft de toestandsmatrix aan hoe de huidige toestand invloed heeft op de toekomstige toestand, los van de invoer.

In continue tijd wordt een lineair toestandsmodel vaak geschreven als dx/dt = A x + B u, y = C x + D u. Hier is x de kolomvector met toestandsvariabelen, u de invoer en y de uitgang. De matrix A wordt zo genoemd als de toestandsmatrix en bevat de onderlinge koppelingen tussen de toestandsvariabelen in afwezigheid van invoer. In discrete tijd geldt x_{t+1} = A x_t + B u_t, waarbij A dezelfde rol behoudt. De toestandsmatrix bepaalt onder meer de stabiliteit van het systeem via zijn eigenwaarden: als alle eigenwaarden van A in het linkerhalfvlak liggen (continue tijd) of binnen de eenheidscirkel (discrete tijd), is het systeem stabiel.

Afleidingen en toepassingen: de matrix A kan theoretisch afgeleid worden uit een fysisch model (zoals massa–dempings–veerkracht systemen) of empirisch geschat worden uit meetdata (state-space identificatie). Naast A zijn vaak B, C en D nodig om invoer, uitgang en observatie te koppelen. De toestandsmatrix is cruciaal bij ontwerp van regelingen en observers; de toestand van het systeem wordt vervolgens gevolgd met methoden zoals Kalman-filters die ook van A uitgaan. In de controlekunde wordt A soms ook aangeduid als het systeem- of toestandsoverschakelingsmatrix, en is nauw verbonden met de toestandsoverdracht en de tijdsrespons van het systeem.