svarsfunktioner

Svarsfunktioner är ett begrepp inom systemteori och signalbehandling som beskriver hur ett system svarar på en given inmatningssignal. För linjära tidsinvarianta system är svarsfunktionen ofta betecknad h(t) och kallas impulssvaret, eftersom det anger hur systemet svarar på en deltaimpuls.

I tidsdomänen är för outputen y(t) relationen y(t) = ∫ h(τ) x(t−τ) dτ, där x(t) är inmatningen. I diskret tid blir motsvarande uttryck y[n] = ∑ x[k] h[n−k]. Impulssvaret h(t) eller h[n] fullständigt beskriver hur systemet transformerar varje inmatning till en output i LTI-sammanhang.

Överföringsfunktionen, H(s) eller H(jω), erhålls som Laplace- respektive Fouriertransformen av h(t). Denna funktion beskriver hur olika frekvenser förstärks eller dämpas och hur fasen ändras. Stegvärdet eller enhetsstegets svar, ofta kallad stegresponsen, är relaterad till impulssvaret genom att integrera h(t) över tiden (eller summera i diskret tid). Stegresponsen visar hur systemet når ett nytt steady-state när inmatningen ändras plötsligt.

Egenskaper som är centrala är orsakbarhet och stabilitet. En orsakbar svarsfunktion har h(t)=0 för t<0. BIBO-stabilitet kräver att ∫|h(t)| dt är ändligt i kontinuerlig tid eller att ∑|h[n]| är ändligt i diskret tid. Dessa egenskaper avgör om systemet ger förutsägbara och begränsade utsignaler.

Användningar finns inom elektronik och filtrering, mekaniska system, akustik och kontrollteori. Svarsfunktioner används för att förutsäga utstrålning, designa filter och utföra systemidentifikation. Vid icke-linjära eller tidsvarierande system används inte längre en enkel impulse response utan mer komplexa modeller. Green’s funktioner utgör ett relaterat begrepp i fysik som beskriver responsen på ett impulssignal i kontinuerliga medier.