Fouriertransformen

Die Fouriertransformen bezeichnen Transformationsverfahren, die eine zeitliche oder räumliche Funktion in ihr Frequenzspektrum überführen. Sie umfassen das kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT) sowie das diskrete Fourier-Transformation (DFT) und deren Varianten. Ziel ist es, Informationen über die Frequenzkomponenten eines Signals zu gewinnen und die Analyse von Signalen, Signalkulturen und Mustern zu erleichtern.

Die kontinuierliche Fourier-Transformation F(ω) einer Funktion f(t) wird üblicherweise definiert als F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt. Die inverse Transformation lautet f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω. Verschiedene Konventionen verwenden auch andere Normalisierungen oder arbeiten mit der Frequenz ν statt der Winkel-Frequenz ω. Für diskrete Signale x[n] der Länge N ist die DFT definiert als X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i 2π k n / N}, mit der inversen Form X^{-1}[n] = (1/N) ∑_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i 2π k n / N}. Der FFT-Algorithmus (Fast Fourier Transform) berechnet die DFT effizient.

Wichtige Eigenschaften sind Linearität, Zeit- bzw. Frequenzverschiebung, Skalierung und Modulation. Das Faltungstheorem verbindet Faltung im Zeitbereich mit Multiplikation im Frequenzbereich (und umgekehrt mit passenden Konventionen). Parsevals Identität verknüpft Energien im Zeit- und Frequenzbereich.

Anwendungen finden sich in der Signal- und Bildverarbeitung, Akustik, Optik, Quantenmechanik sowie bei der Lösung von Differentialgleichungen, Filterdesign und Spektralanalysen. In der Theorie werden Funktionen oft in L1- oder L2-Räumen betrachtet; unter bestimmten Bedingungen lässt sich die Fouriertransform auf L2-Räume fortsetzen oder als verallgemeinerte Funktion/Distribution interpretieren.

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